Философские проблемы математики







Философские задачи арифметики


Материалы для выполнения учебных заданий


Новосибирск

2006


УДК

ББК

Ф


Философские задачи арифметики: Материалы для выполнения учебных заданий. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006.


Составитель

Д-р филос. наук, доктор Л.С. Сычева


«Материалы» содержат статьи по философии арифметики, излагающие современные Философские проблемы математики взоры на философские препядствия арифметики, такие, как природа математического познания, метод бытия математических объектов, формирование нового познания в арифметике, отношение арифметики и других наук, различие незапятанной и прикладной арифметики. Материалы созданы для Философские проблемы математики студентов и магистрантов механико-математического факультета для углубленного исследования философских заморочек их науки, также для аспирантов ММФ, готовящихся к сдаче кандидатского экзамена «История и философия науки». Любая статья снабжена Философские проблемы математики вопросами, ответы на которые будут содействовать наилучшему осознанию рассматриваемых вопросов.


СОДЕРЖАНИЕ


^ Философия арифметики


Френкель А., Бар-Хиллел И. Философские замечания

Целищев В.В. Поиски новейшей философии арифметики


Метод бытия математических объектов


Розов М.А. Метод бытия математических Философские проблемы математики объектов

Коллинз Р. Соц действительность объектов арифметики и естествознания

Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и арифметики

Сычева Л.С. Неувязка действительности математических объектов


^ Формирование нового познания в арифметике


Григорян А.А. Социокультурные и Философские проблемы математики метафизические круги и их преодоление в развитии арифметики

Веркутис М.Ю. Рефлексивная симметрия как механизм новаций в критериях незнания


^ Отношение арифметики и других наук


Вигнер Е. Непостижимая эффективность арифметики в естественных науках


Появление арифметики


Нидам Дж. Общество и наука на Философские проблемы математики Востоке и на Западе


^ Различие незапятанной и прикладной арифметики


Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я Г. О различии неких подходов в незапятанной и прикладной арифметике


Философские задачи арифметики

Книжка А. Френкеля (математик, один Философские проблемы математики из создателей принципиальной системы аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств) и И. Бар-Хиллела (спец в области семиотики) представляет собой полный обзор результатов, приобретенных в основаниях теории множеств к 1958 году. Приведенный Философские проблемы математики в хрестоматии параграф 8 из главы Y содержит изложение философских заморочек, связанных с обоснованием арифметики, и разных точек зрения на их решение. Основное внимание ориентировано на исследование вопроса об онтологическом статусе множеств. Рассматриваются решения, предложенные Философские проблемы математики платонистами, неономиналистами, неоконцептуалистами. Рассмотрены также пробы понять арифметику как эмпирическую науку, отменно никак не выделяемую из других эмпирических наук, когда доказывается, что формальные науки наименее «формальны», чем принято мыслить, также попытка Куайна Философские проблемы математики, которая исходит из того, что эмпирические науки не настолько уж «эмпиричны».

Целищев Виталий Валентинович, директор Института философии и права СО РАН, логик, доктор философских наук, выпустил несколько книжек по философии арифметики Философские проблемы математики. В первой главе книжки «Философия математики», приведенной в хрестоматии, дает сводку направлений в философии арифметики, более тщательно охарактеризовывает структурализм, номинализм, реализм. Анализирует платонизм как представление о том, что математические объекты Философские проблемы математики сущест­вуют вне и независимо от людского сознания, есть не в вещественном мире, а в мире безупречных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у математиков никаких колебаний, то в философском отношении платонизм Философские проблемы математики отягощен массой противных качеств. Реакцией на философски затруднительную позицию платонизма является эпистемологизация арифметики, т.е. переход от рассмотрения обычных вопросов о природе математических объектов и математической правды к исследованию вопросов математического Философские проблемы математики зания.


Френкель А., Бар-Хиллел И.

Философские замечания.

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Глава Y, § 8. Стр.398-416.

В почти всех местах этой книжки, когда нам приходилось ка­саться Философские проблемы математики неких щекотливых «философских» вопросов, мы пре­рывали изложение замечанием, что неувязка эта будет освещена «позже». Сейчас наступил последний срок выплаты накопив­шихся долгов. Навряд ли читатель после чтения этого заключи­тельного параграфа проникнется чувством Философские проблемы математики, что все возникшие перед ним трудности получили сейчас свое окончательное разре­шение. Практически никаких окончательных суждений он тут не повстречает; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой формулировке Философские проблемы математики неких из этих заморочек, также разных точек зрения на их, что могло бы содействовать наилучшему осознанию их существа.

1-ая из этих заморочек — это онтологический статус множеств; не того либо другого Философские проблемы математики определенного огромного количества, а множеств вообщем. Под словом «множество» обычно понимают то, что философы именуют универсалиями (universals); таким макаром, интересующая нас на данный момент неувязка есть личный случай издавна известной и Философские проблемы математики обширно обсуждавшейся традиционной трудности об онтологическом статусе универсалий. Три главных ответа на общую делему универсалий, идущие еще от средневековых обсуждений, известны под именами реализма, номинализма и концептуализма. Мы будем рассматривать тут не сами Философские проблемы математики по для себя эти направления мысли в их обычных версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2), неономинализм и неоконцептуализм (вобщем, приставку 'нео' мы будем, обычно, опускать, потому что тут Философские проблемы математики у нас не будет варианта дискуссировать древние версии). Мы разглядим потом еще одну позицию, согласно которой вся эта неувязка онтологиче­ского статуса универсалий вообщем и онтологического статуса множеств а именно есть не что другое Философские проблемы математики, как метафизическая псевдопроблема.

Платонисты убеждены, что для каждого верно определенного одноместного условия существует, вообщем говоря, соответственное огромное количество (либо класс), состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют Философские проблемы математики этому условию, и что это огромное количество само является предметом с таким же полноправным онтологическим статусом, как и его члены. Если б только не антиномии, то наилучшим отражением интуитивной позиции платонистов должно было бы быть Философские проблемы математики безупречное исчисление К (стр. 172) либо чего-нибудть в этом роде; основная особенность такового рода систем — это ничем не ограниченная схема аксиом свертывания. Будучи принужденными считаться с реальной ситуацией, платонисты допускают Философские проблемы математики, хотя и с неохотой, что их представления о том, что такое верно определенное условие, возможно окажутся недостаточно четкими, и утверждают о собственной готовности наложить на употребление схемы аксиом свер­тывания некие ограничения Философские проблемы математики, вроде тех, что приняты в тео­рии типов либо в теории множеств цермеловского толка. Од­нако в глубине души они уповают, что в какой-то момент кому-нибудь получится показать достаточность еще наименее ради Философские проблемы математики­кальных мер предосторожностей. Может, естественно, случиться, что некие платонисты придут к убеждению (либо другие смогут уверить их) в том, что в мире, в каком они живут, предметы вправду расслоены (are Философские проблемы математики really stratified) на типы и порядки, тогда они воспримут теорию типов не в качестве комфортного соглашения, а в роли описания реальной ситуации.

Неономиналисты утверждают, что они вообщем не могут осознать, что Философские проблемы математики имеют в виду те, кто гласит о огромных количествах, — такие разго­воры для их могут представлять собой только facon de parler (манера выражаться). Единственный язык, на осознание которого они претендуют,— это исчисление индивидов Философские проблемы математики (calculus of individuals), построенное как прикладное функциональное исчисление первого порядка. Многие обороты, применяемые как в научном, так и в повсе­дневном языке, зависящие, prima facie (на 1-ый взор), от термина 'множе­ство', номиналисты Философские проблемы математики без особенного труда точно переводят на собственный ограниченный язык. Такое, скажем, обыденное выражение как «множество предметов а есть подмножество предметов b» они переводят как «для всех x, если х есть а, то х Философские проблемы математики есть b». Некие другие обороты и выражения представляют огромные трудности для такового перевода. На языке теории множеств просто выра­зить тот принятый метод образования понятий, посред­ством которого какое-либо асимметричное и Философские проблемы математики интранзитивное отношение порождает новое отношение наследственности (the ancestral) (5) (которое оказывается уже транзитивным). К примеру, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение 'быть на единицу больше’ (но Философские проблемы математики пока не про­сто 'быть больше'), определяют: х больше, чем у, если и толь­ко если х отлично от у и х принадлежит всем огромным количествам, со­держащим у и все целые Философские проблемы математики числа, на единицу огромные хоть какого их члена. Проигрывание такового метода образования поня­тий в исчислении индивидов нередко просит огромных ухищре­ний, в ряде же случаев эта задачка по-видимому, вообщем неосуществима Философские проблемы математики (6). Понятно, что выражения типа «кардинальное число огромного количества а есть 17» (либо «... менее 17», либо «... более 17», либо «... лежит меж 12 и 21» и т. п.) просто выразимы в многофункциональном исчислении первого порядка с равенством. Но такое Философские проблемы математики выражение, как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значимые трудности, и хотя в данном и всех других определенных случаях эти трудности все таки преодолимы, нет общего способа номиналистического истолкования выражения «предметов а больше Философские проблемы математики, чем предметов b» (7). Трудности, возникающие при попытках выразить всю клас­сическую арифметику в номиналистических определениях, создают воспоминание неодолимых — и так оно, по всей вероятности, и есть. Так как идет речь Философские проблемы математики о канторовской теории множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и схожих им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям». Зато к тем разделам арифметики, которые находят примене Философские проблемы математики­ние в других науках, номиналисты относятся со здоровым ува­жением, и многие из их готовы быстрее подвергнуть сомнению свою философскую интуицию, ежели принести в жертву хотя бы часть таковой рабочей арифметики. Есть Философские проблемы математики только два заслуживающих внимания выхода из возникающих затрудне­ний: или продолжать воспользоваться всеми подходящими частями арифметики в надежде, по-видимому, не очень обоснован­ной (8), что в конце концов получится получить Философские проблемы математики их адекватную переформулировку в номиналистических определениях, или объ­явить всю высшую арифметику неинтерпретируемым исчисле­нием, использование которым, невзирая на отсутствие интерпре­тации, оказывается вероятным благодаря тому обстоятельству, что его синтаксис формулируется Философские проблемы математики (либо может быть сформули­рован) на полностью понятном номиналистическом метаязыке (9). Как удачно неинтерпретированное (и конкретно не интерпретируемое) исчисление может делать возлагаемую на него задачку согласования интерпретированных предложений эмпирического нрава — вопрос еще пока далековато Философские проблемы математики не ясный, невзирая на огромные усилия, потраченные на его решение мно­гими учеными, занимавшимися неуввязками философии науки (10). Тут явственно усматривается близость к формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть арифметики, в главном рекурсивная Философские проблемы математики математика, считается интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, применяемым в качестве средства преобразования осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения, при этом этот статус «идеальных» частей арифметики сравнивается со статусом «идеальных» точек Философские проблемы математики в аффинной геометрии.

От таковой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «как-будто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) показывает, что финитистски настроенный номиналист, т.е. тот, кто верует, что мир (который для Философские проблемы математики него представляется всегда в виде некой однородной области индивидов, при этом природа этих индивидов роли не играет) состоит только из конечного числа частей, полностью мог бы допустить, что существование беско­нечного Философские проблемы математики числа предметов есть нужный обман (pretense) (рань­ше в таких случаях гласили 'фикция' (fiction)). Он, естественно, лицезреет, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же фуррором можно было бы согласиться Философские проблемы математики с фикцией о существовании универсалий и воспользоваться в полном объеме платонистским языком, отрицая в то же время, что тем приходится принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с таким языком; но Философские проблемы математики он ощущает, что меж этими 2-мя фикциями есть большое отличие, вследствие которого по­следовательный номиналист охотнее согласится с первой фик­цией, чем со 2-ой; Генкин признает при всем этом, что никакого беспристрастного аспекта Философские проблемы математики для такового различения фикций ему непонятно. Естественно, он прав, говоря, что таковой образ действий, при котором внедрение языков форм не подразумевает принятия онтологических допущений, производит несколько легко­мысленное воспоминание и нуждается потому в Философские проблемы математики последующих разъяснениях (12).

Имеются и такие создатели, которых не завлекает ни сочная растительность платонистских тропических зарослей, ни грозный пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в кропотливо распланированных и отлично обозримых Философские проблемы математики садах неоконцептуализма. Они претендуют на осознание того, что такое огромное количество, хотя и предпочитают воспользоваться метафорой по­строение (либо придумывание (inventig}), а не возлюбленной мета­форой платонистов выбор (либо открытие); эти метафоры подменяют Философские проблемы математики собой более старенькую антитезу: существование в созна­нии— существование в неком наружном (реальном либо иде­альном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что лю­бое полностью определенное и ясное условие вправду опреде­ляет соответственное огромное количество Философские проблемы математики — коль скоро в данном случае они могут «построить» это огромное количество, исходя из некого за­паса множеств, существование которых или интуитивно оче­видно, или гарантировано подготовительными построениями,— но не согласны принимать никаких Философские проблемы математики аксиом либо теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием любых множеств (13), не характеризуемых конструктив­ным образом. Потому они не допускают множеств, соответствую­щих непредикативным условиям (кроме Философские проблемы математики, естественно, тех случаев, когда можно обосновать, что такое условие можно заме­нить равносильным ему предикативным), и опровергают справед­ливость (validity) аксиомы Кантора в ее доверчивой, абсолютной интерпретации, в силу которой огромное количество всех Философские проблемы математики подмножеств хоть какого данного огромного количества имеет мощность огромную, чем мощность самого этого огромного количества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо нескончаемое огромное количество окажется не перечислимым Философские проблемы математики при помощи неких данных средств.

Естественно, в номиналистически интерпретируемой теории мно­жеств, при которой '' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14 - противоречие по определению). Но мы гласили уже, что некие номиналисты Философские проблемы математики согласны воспользоваться теорией мно­жеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концеп­туалисты настаивают на том, что теория множеств (как и вооб­ще математика) должна Философские проблемы математики быть интерпретируемой и понимаемой сама по для себя и не использовать никаких неинтерпретируемых исчислений. Расползаются же эти два направления в собственном осознании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).

Нечего и гласить, что каждое Философские проблемы математики из этих огромных философских направлений распадается на огромное количество более особых, что границы их неопределенны и что нередко бывает очень тяжело отнести какого-нибудь создателя с полной определенностью к одному из их Философские проблемы математики. Логицизм обычно считают одной из разновидностей пла­тонизма; но сам Рассел в протяжении собственной шестидесяти­летней философской деятельности не раз высказывал идеи, носящие концептуалистский и даже номиналистический нрав (15). Разветвленная теория типов имеет явственный концептуа Философские проблемы математики­листский привкус; что все-таки касается теоремы сводимости, то она, естественно, является платонистской. Когда он выступил со собственной бесклассовой теорией (no-class theory), многие расценили ее (в особенности это относится к члену Философские проблемы математики венского кружка Гансу Хану сначала 30-х годов (16); вобщем, пожалуй, некое время так был настроен и сам Рассел) как чисто номиналистическую, про­должающую традиции бритвы Оккама. (Это было, но, яв­ным недоразумением Философские проблемы математики, объясняемым частично двусмысленностью употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция': в значениях 'открытая формула' и в то же время 'аттрибут' (attribute). Практически Рассел показал, каким образом возможно обойтись без потребления классов, заменив их Философские проблемы математики «пропозицио­нальными функциями»; но эти функции были не чем другим, как аттрибутами (качествами либо отношениями), т. е. само мало такими же «универсалиями», какими являлись сами клас­сы; Рассел отдавал для себя отчет в двусмысленности Философские проблемы математики этого собственного словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет чисто языковую природу (17). Гёделя сейчас принято считать платонистом; но 1-ые его работы испытали сильное воздействие гильбертовской школы и даже Сколема, настроенного Философские проблемы математики еще больше решительно концептуалистски. Гёделевский постулат конструк­тивности (стр.153), имеющий явную концептуалистскую на­правленность, в качестве такого получил признание и одобре­ние концептуалистов; но сам Гёдель отрешается рассматри­вать его в качестве настоящего теоретико Философские проблемы математики-множественного утверждения (statement). Гильберт — отец современного форма­лизма; но его метаматематика в сильной степени концептуалистична, а взор, согласно которому математические понятия высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу, во­обще тяжело отнести Философские проблемы математики с определенностью к какому-либо из обыч­ных направлений. Лоренценовский операционизм следует охарактеризовать как некоторый переходный колер в консистенции кон­цептуализма и номинализма породы «как-будто», но характери­стика эта только в Философские проблемы математики малой степени вскрывает нам все отпугиваю­щие стороны его позиции. Куайн, начинавший как логицист, в течение многих лет пробовал защищать номиналистическую по­зицию, но сейчас он ощущает, что, утомившись от собственных донкихотских попыток Философские проблемы математики номиналистской реконструкции, может впасть в концептуализм, успокаивая при всем этом «свою пуританскую совесть сознанием, что не совершенно уж погряз в платинистской скверне (18)» (19). Для первых работ Тарского свойственна идущая от Лесневского позиция, характеризуемая самим Философские проблемы математики Тарским как интуиционистский формализм; но теперешняя его позиция уже не такая (20). Если ранее он испытывал затруднения, связанные с обоснованием оперирования над нескончаемыми огромными количествами предложений, то сейчас он, не проявляя видимых Философские проблемы математики угрызений совести, вводит в рассмотрение языки, огромного количества индивидных констант которых имеют всякую мощность.

Было бы просто, даже очень просто, продолжать в том же духе. Только очень немногие современные логики и Философские проблемы математики арифметики поочередно и непреклонно придерживались в течение всей собственной жизни одной и той же философской полосы. Говоря об исключениях из этого правила, можно именовать Брауэра, всю жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным концеп­туалистом (позиция Философские проблемы математики эта, меж иным, не помешала ему дока­зать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча, про­поведующего прямолинейный (хотя никак не догматический) платонизм, и Гудмена, до сего времени не поддавшегося концептуа Философские проблемы математики­листским соблазнам и стойко исповедующего самый последний но­минализм, который если и изменяется в чем-либо с течением времени, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, прав­да, отметить, что номинализм его Философские проблемы математики несколько особенной марки и имеет не много общего с традиционным номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы именовать чисто синтаксическим номи­нализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной легитимной формой языка является Философские проблемы математики некое функциональное исчисление первого порядка, но без любых ограничений, по последней мере официально принятых им, на онтологический ста­тус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого дела; в качестве таких можно Философские проблемы математики рассматривать хотя бы сообщения с того света, либо числа, либо огромного количества, точнее «множества», так как про такие огромного количества нельзя сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря Философские проблемы математики, лозунг Гудмена та­ков: он ничего не имеет против множеств, он только не может осознать, что означает огромное количество чего-либо (21) .

Для большинства создателей, занимавшихся основаниями арифметики, типично поразительное непостоянство философских позиций. С Философские проблемы математики их точки зрения, эти конфигурации мнений полностью естественно разъяснять эволюцией мышления в сторону большей его зрелости и считать более поздние позиции более обоснованными, ежели ранешние, независимо от того, в какую конкретно сто­рону Философские проблемы математики произошел сдвиг.

В то же время полностью естественно, что в очах неких мыслителей все эти необычные блуждания служат подтвер­ждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных 3-х главных онтологических концепций беспристрастно Философские проблемы математики не имеет ни­какого дела к дилемме оснований, независимо от того, что задумываются по этому поводу приверженцы этих концепций и как сильны тут их чувства. Сторонники та­кого вида мыслей сделали Философские проблемы математики вывод, что теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности. Есть либо нет непредикативные огромного количества — на этот вопрос не следует ожидать ответа Философские проблемы математики ни от теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры, ос­новывающейся на интуиции либо свободе совести. Получившие настолько обширное распространение обратные представления были вызваны совместным рассмотрением и смешением 2-ух совсем разных вопросов: 1-ый Философские проблемы математики из их — можно ли обосновать, либо опровергнуть, либо обосновать неразрешимость не­которых определенных экзистенциальных предложений в неко­торой данной теории; другой вопрос — следует ли принять всю эту теорию. Можно ли обосновать в Философские проблемы математики существование огромного количества, являющегося объединением (множеством-суммой) 3-х данных множеств,— это суровый вопрос, просто решаемый, как мы знаем, положительно. Можно ли обосновать в несуществова­ние нетривиального недосягаемого числа — это еще больше серь Философские проблемы математики­езный вопрос, при этом так тяжелый, что мы не умеем на него ответить. По отношению же к системе на тот же са­мый вопрос элементарным образом следует дать отрицательный ответ. А для неких других теорий Философские проблемы математики ответ возможно окажется положительным, время от времени получаемым элементарно, время от времени тре­бующим глубочайших рассуждений. Следует ли принять систему , либо , либо , либо Т*, либо , либо , либо что вам еще Философские проблемы математики угодно, - это уже другой, очень суровый вопрос, но, конеч­но, вопрос совсем другого рода. Суть его в практи­ческом решении, основанном на таких (теоретических) сообра­жениях, как правдоподобность непротиворечивости, удобство для проведения выводов Философские проблемы математики, эффективность построений классиче­ского анализа, педагогические суждения, а может быть, на­личие стандартной модели, и т. п. Смешение этих 2-ух совсем разных вопросов приводит к такового рода псевдопроблемам, как, скажем, есть Философские проблемы математики ли несчетные огромного количества (как таковые, в абсолютном смысле, а не в рамках данной теории), провоцирующим бесплодные псевдотеоретические дискуссии либо создающим воспоминание, что ответ на такового рода во­прос могут дать Философские проблемы математики подсказку только интуиция и философские убежде­ния, основываясь на которых платонист ответит на этот вопрос ясным «да», а концептуалист и номиналист настолько же ясным «нет», так как интуиции, из которых они при всем этом Философские проблемы математики исходят, совсем различны.

Самый выдающийся представитель этой четвертой, антионтологической, точки зрения — Карнап. В одной из собственных послед­них работ (22) он ввел для обозначения 2-ух нареченных нами во­просов определения: внутренняя неувязка {question Философские проблемы математики) существования и наружняя неувязка существования. Правда, Карнап не зани­мается конкретным приложением этого различения к про­блемам оснований теорий множеств; но нам представляется, что такое приложение осуществляется совершенно просто и прямо, и Философские проблемы математики мы возлагаем надежды, что не исказим точку зрения самого Карнапа на обсу­ждаемый на данный момент вопрос.

Точка зрения эта также не свободна от собственных собственных проблем. Мы не будем Философские проблемы математики дискуссировать их тут. Считаем только нужным сказать, что наше изложение могло породить не­сколько гиперболизированное представление о степени расхождения позиций Куайна и Карнапа. Правильно, что Куайн нередко повторял, принять какую-либо теорию можно, только Философские проблемы математики связав себя некими абсолютными онтологическими соглашениями; правильно, что Карнап как раз это самое опровергал. И все же далековато не ясно, до какой степени это расхождение не является чисто (либо в большей степени Философские проблемы математики) словесным (23).

Мы уже гласили (гл. III, стр. 216), что некие неокон­цептуалисты отторгают не только лишь непредикативные методы образования понятий, да и более широкий класс способов нео­пределенного (в смысле Карнапа) образования Философские проблемы математики понятий; если гласить об этом в определениях метаязыка, идет речь об отказе от языков с неограниченной квантификацией. Сторонники таковой позиции (посреди их можно именовать Пуанкаре, Брауэра, Витген­штейна, Кауфмана, Сколема и Гудстейна Философские проблемы математики) приходят к собственному отказу от таких трансфинитных операций под воздействием того суждения, что не существует разрешающей процедуры, ко­торая позволяла бы решать вопрос об истинности квантифицированных предложений. Отождествляя осмысленность с эффек­тивной проверяемостью (effective Философские проблемы математики verifiability) (24), они немедлен­но приходят к заключению, что выражения, содержащие неогра­ниченные кванторы, вообщем говоря, глупы.

Философские нюансы этой позиции более чем непонятны. Более всераспространенные возражения против нее заключаются Философские проблемы математики в том, что принятие ее исковеркало бы арифметику, точно так же, как принятие аналогичной позиции в отношении эмпирических предложений исковеркало бы эмпирическую науку. Нельзя, но, не признать, что теории, удовлетворяющие ее требованиям Философские проблемы математики, владеют определенной привлекательностью. Скажем, математика, исходящая из отношений (либо операций), отлично разрешимых в каждом определенном случае, и запрещающая внедрение неограниченных кванторов при образовании последующих собственных понятий, остается на всех стадиях собственного развития интуитивно прозрачной Философские проблемы математики, это, непременно, одна из са­мых надежных и менее подверженных сомнениям теорий, имеющих дело с нескончаемой предметной областью. Понятно, что Гильберт был должен стремиться обосновать формальную не­противоречивость арифметики конкретно в этой Философские проблемы математики очень интуитивной рекурсивной математике (recursive number theory). Сколему удалось в рамках этой теории развить значительную часть традиционной математики, а Гёдель потрясающе показал достаточность ее средств для арифметизации простого синтаксиса хоть какой Философские проблемы математики формальной системы (25).

В верно определенных языках, хотя они и подчиняются пра­вилам традиционной пропозициональной логики, те потребления принципа исключенного третьего, против которых возражают интуиционисты и которые нередко несут ответственность за появление антиномий Философские проблемы математики (26), остаются в стороне как раз поэтому, что они не мо­гут быть сформулированы. Неограниченная общность предложе­ний выразима при помощи свободных переменных; что все-таки ка­сается неограниченных экзистенциальных предложений, то Философские проблемы математики они вообщем не могут быть выражены в таком языке: утверждать

‘F(х)’- означает утверждать, что все х сущность F, но утверждать ‘~ F(x)’ — означает утверждать совсем не то, что не все х сущность F Философские проблемы математики, а то, что все х сущность не F либо что никакое х не есть F.

Тот факт, что воспрещение обыденных (неограниченных) кванторов не приводит к таким томным ограничительным последствиям, каких можно было бы ждать Философские проблемы математики, можно проиллюстрировать последующим, достаточно элементарным примером. Пусть в некой теории натуральных чисел уже определен дву­местный предикат ‘D’ («делит»); тогда можно дать обыденное определение одноместного предиката ‘Р’ («есть простое»), скажем Философские проблемы математики, последующим образом:



Вся хитрость сейчас состоит в подмене ‘(Ау)’ на ‘(Ау)’х (читается: ‘для всех у от 0 до х включительно’). Вообщем каждый раз, когда мы, вводя какое-нибудь разрешимое свойство, желаем поменять Философские проблемы математики неограниченные кван­торы ограниченными, нам необходимо только отыскать какую-нибудь верхнюю границу рассматриваемых чисел.

Потому и было предложено (27) считать один из определенных языков, а конкретно Язык I Карнапа, «в известном смысле» воплощением более решительных Философские проблемы математики концептуалистских тенденций, время от времени называемых ‘финитистскими’ либо ‘конструктивистскими’. Некие создатели (к примеру, Сколем либо Гудстейн) согласились бы, пожалуй, с таковой формулировкой их взглядов, но интуиционисты не согласились бы, хотя Философские проблемы математики, может быть, только по той причине, что они вообщем считают, что интуицию нельзя правильно выразить средством какой бы то ни было формализации.

Раздельно стоит сказать о Лоренцене, который решительней­шим образом отторгает непредикативное образование Философские проблемы математики понятий и в то же время с полной определенностью допускает неогра­ниченную квантификацию (28), отказываясь иметь дело с затруд­нениями, связанными с аспектом верифицируемости. Он не держится концептуалистической философии, огромного количества для него Философские проблемы математики — это всего-навсего пропозициональные формы (29), ус­ловия со свободными переменными, а совсем не внеязыковые сути, надлежащие этим формам, как для реального концептуалиста. Но Лоренцен не является и синтаксическим но­миналистом Философские проблемы математики и уже тем паче платонистом. Не примыкает он и к последователям Карнапа. Математика для Лоренцена — не лингвистическая неинтерпретированная схема, оцениваемая зависимо от ее плодотворности и т. п., а интерпретированная теория схематических Философские проблемы математики операций над неинтерпретированными исчислениями.

Невзирая на бессчетные расхождения, философия ма­тематики Карри (30) поближе всех связана с философией Карнапа. Подобно Карнапу, Карри отторгает любые онтологические допу­щения (commitments) (31) и в качестве аспекта для оценки математических теорий Философские проблемы математики напористо выдвигает их приемлемость (acceptability}(32). Он именует свою концепцию эмпирическим формализмом, подчеркивая этим ее отличие от гильбертовской версии формализма, с которой она и по правде существенно расползается; более уместным Философские проблемы математики был бы, пожалуй, термин прагма­тический формализм. Утверждение Карри, что формалистское (предлагаемое им) определение арифметики не нуждается ни в каких подготовительных философских допущениях и что разго­вор о философских различиях было бы разумнее вести в Философские проблемы математики тер­минах «приемлемости», полностью согласуется с теперешней точкой зрения Карнапа, а проводимое Карри различение меж обсу­ждением вопроса об истинности какого-нибудь данного математи­ческого предложения (statement) в данной системе и Философские проблемы математики вопроса о приемлемости этой системы в целом, по-видимому, равносильно карнаповскому различению внутренней и наружной заморочек су­ществования.

В отличие от гильбертовского формализма Карри с прене­брежением относится к доказуемой непротиворечивости, отводя Философские проблемы математики более важную роль приемлемости. Это различие позиций, по-ви­димому, не настолько уж принципно, так как и сам Гильберт не считал, что непротиворечивость является достаточным усло­вием приемлемости (33). Что все Философские проблемы математики-таки касается интуитивной очевидно­сти, то это, по воззрению Карри, роскошь, без которой математика может потрясающе обойтись. «Поскольку дело касается приемлемости для физики, анализ менее нуждается в доказательствe непротиворечивости, чем в интуитивной очевидности» (34).

В Философские проблемы математики конце концов, аргументы Карри в защиту терпимости (tolerance) допросах приемлемости (35) отражают, возможно преднамеренно, известный карнаповский принцип терпимости (36). Всякому, кто настаивает, основываясь на собственной интуитивной уверенности, что raison d'etre имеют только математические системы Философские проблемы математики определенного рода, стоит снова как надо поразмыслить, не тормозит ли его нетерпимость научный прогресс, а не пробовать втиснуть науку в неширокую колею единственного пути, обещающего надежду. В неких случаях Философские проблемы математики конструктивность является нужным условием приемлемости математической теории — так, сажем, обстоит дело с метаматематикой либо с машинной арифметикой; потому теории конструктивного (theories of the conctructible} (термин этот, в противовес употребляемому в последующей фразе, не так давно Философские проблемы математики предложен Гейтингом (37)) стоят того, чтоб их изучали арифметики с хоть какими философскими убе­ждениями; и их вправду изучают арифметики с совсем разными убеждениями, равно как и те, что обходятся без Философские проблемы математики всяких философских убеждений. Что все-таки касается утвер­ждения, согласно которому единственная легитимная математи­ка — конструктивная математика (constructible mathematics}, то сильно мало шансов, что оно уверит кого-то из числа тех, кто не Философские проблемы математики делит особенной точки зрения интуиционистов.

В наши намерения не входило давать тут полную сводку всех имеющихся направлений философии арифметики. Все таки будет уместно сделать еще несколько замечаний на данную тему.

Мы совершенно Философские проблемы математики пока не гласили о той концепции арифметики, согласно которой математика рассматривается как эмпириче­ская наука, отменно никак не выделяемая из других эмпи­рических наук. Мы не гласили об этом до Философские проблемы математики сего времени по той при­чине, что просто не можем для себя представить, каким образом можно было бы доказать веру в то, что «источником и окон­чательным raison d'etre понятия числа, как Философские проблемы математики натурального, так и реального, является опыт и практическая применимость» (38), хотя конкретно эту веру исповедует Мостовский, и подобные заявления можно повстречать также в других, очень бессчетных сочинениях, начиная еще с Джона Стюарта Милля. Очевидно Философские проблемы математики, можно было также считать, что за такового рода заявлениями не прячется ничего большего, ежели очевидная констатация того факта, что опыт привел население земли к арифметике. Тяжело, но, согласиться с этой тривиализацией Философские проблемы математики; совсем неясно, к примеру, как из такового истолкования можно «сделать вывод, что имеется только одна математика натуральных чисел, одна математика действитель­ных чисел и одна теория множеств» (39). Но какой еще смысл может иметь заявление Философские проблемы математики, что источник безграничных множеств заключается в опыте? (У нас нет особенных возражений против того взора, что окончательный raison d'etre понятий числа и огромного количества лежит в их практической применимости Философские проблемы математики, но мы ре­шительно не осознаем, как из этого можно извлечь единствен­ность математики и теории множеств.)

Эту попытку игнорировать высококачественное отличие формальных наук (логики и арифметики) от реальных (эмпирических) наук, представляющуюся Философские проблемы математики нам недостаточно обоснованной, не следует соединять с другой недавнешней попыткой, предпринятой Куайном (40) и другими, игнорировать границу меж этими науками. Последняя отличается от первой тем, что главным ее тезисом является не столько Философские проблемы математики утверждение, что формальные науки наименее «формальны», ежели принято мыслить, сколько утверждение, что эмпирические науки не настолько уж «эмпиричны». В защиту этой точки зрения приводятся достаточно убедительные аргументы, но выводы, которые можно сделать из этих аргументов Философские проблемы математики, совсем не предопределены с необходимостью. С таким же (а пожалуй, даже с огромным) фуррором можно придти к заключению, что в эмпирической теории следует различать теоретическую подтеорию и экспериментальную подтеорию, так что Философские проблемы математики математика — либо требующиеся к данному случаю ее разделы — составляла бы вкупе с некой определенной теоретической подтеорией исчисление, хотя конкретно и не интерпретированное, но получающее частичную и косвенную интерпретацию при помощи особых Философские проблемы математики правил соответствия, связывающих теоретические определения с почерпнутыми из наблюдения и опыта понятиями экспериментальной подтеории (41).

За ближайшее время было предпринято много попыток ис­толкования неких метаматематических теорем, к примеру аксиомы Лёвенгейма — Сколема либо Философские проблемы математики аксиомы Гёделя о неполноте в качестве резонов, опровергающих одни онтологические мнения и поддерживающих другие. Эти пробы, по нашему воззрению, к успеху не привели. Свои сомнения по этому поводу, касающиеся аксиомы Лёвенгейма — Сколема, мы уже Философские проблемы математики выражали ранее (гл. II, стр. 138—139). Что все-таки касается аксиомы Гёделя, то мы склонны признать точку зрения Майхилла (42), глубоко критикующего резоны, основанные на различии понятий «дока­зуемое» и «истинное», и присоединиться к Философские проблемы математики его утверждению, что резоны эти совсем не опровергают номиналистическую позицию (но никаким образом не разделяем майхилловской интерпрета­ции ограничительных теорем Гёделя, Чёрча и др., носящей пси­хологический нрав). Вообщем мы считаем Философские проблемы математики маловероятным, что какие бы то ни было математические и метаматематические результаты сумеют совсем опровергнуть какую-либо из онтологических позиций, хотя и полностью может быть, что в ка­честве причин иррациональной природы Философские проблемы математики они сумеют оказы­вать существенное воздействие на готовность принять какую-либо из этих позиций. Если кому-нибудь будет угодно заключить отсюда, что ни одна онтологическая концепция, ввиду неопро­вержимости каждой из их, не имеет Философские проблемы математики никакого значения для арифметики (конкретно для арифметики, а не для математиков), мы не станем ему в особенности возражать.

Сейчас нам легче оценить — хотя, пожалуй, и не решить — выдвинутую выше (стр. 379—382) делему Философские проблемы математики. Мы лицезрели тогда, что непополнимость неких логистических систем может время от времени быть истолкована как неаксиоматизируемость некото­рых формализованных теорий. Но если такое толкование для арифметических теорий было полностью естественным, то по Философские проблемы математики от­ношению к теориям множеств оно внушает сомнения. Дело в том, что существует по последней мере одна формализованная математика, полная относительно ясного и естественного поня­тия общезначимости (validity), а конкретно математика Сколема; что Философские проблемы математики все-таки касается теорий множеств, то ничего подобного о их сказать нельзя.

В каком же тогда смысле существует, если только этому вправду придается смысл, единственное в собственном роде понятие Философские проблемы математики огромного количества (натурального числа), подчиняющееся един­ственной истинной Теории Множеств (соответственно Арифме­тике Натуральных Чисел), неполными приближениями к кото­рой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств (математики)? Мы уже знаем, что некие эмпирические реалисты Философские проблемы математики, к примеру Мостовский, ответили бы на этот вопрос заявлением, что огромного количества и натуральные числа есть и (примерно) том же смысле, в каком есть живот­ные либо камешки, и что Теория Множеств и Математика Философские проблемы математики един­ственны опять-таки в том же самом смысле, в каком единствен­ны Зоология (43) и Минералогия. Может быть, что другие предста­вители эмпирического реализма проводили бы тут различие, утверждая действительность Философские проблемы математики и единственность только для чисел и математики, но не для теории множеств. Мы уже признались в собственной неспособности осознать всякую из этих позиций.

Все платонистски настроенные реалисты убеждены в един­ственности чисел Философские проблемы математики — не как эмпирических сущностей, как платонистских мыслях — и их теории (т.е. арифметики- 44). (Для интересующих нас це­лей не значительно, какие определения употребляются для обозначе­ния специфичной «формы бытия» этих сущностей, в отличие Философские проблемы математики от формы бытия животных и камешков. Некие создатели упо­требляют в таких случаях разные поясняющие эпитеты, дру­гие проводят различие меж «бытием» (being), «существова­нием» различного рода («existence», «subsistence»), «реальностью» (reality) и т Философские проблемы математики. п.) К примеру, Гёдель считает, «что допущение таких объектов [классов и общих понятий] настолько же легитимно, как и допущение физических тел, и имеются настолько же весомые осно­вания веровать Философские проблемы математики в их существование» (45). Но не ясно, следует ли из этой точки зрения единственность классов и понятий, либо же разные, может быть даже несопоставимые меж собой, си­стемы таких сущностей могли бы выполнить задачку Философские проблемы математики «получения удовлетворительной системы математики». Мы не убеждены, что расстояние меж прагматическим платонизмом Гёделя и праг­матическим формализмом Карнапа и Карри так велико, как это принято считать. Вправду ли так глубока пропасть меж Философские проблемы математики последующими 2-мя позициями: верой в существование множеств, обосновываемой их необходимостью для получения некой удовлетворительной системы, и принятием некой теории множеств, обосновываемым тем, что эта теория способ­ствует получению некой удовлетворительной системы?

Концептуалисты и Философские проблемы математики номиналисты имеют не достаточно оснований ве­рить в конкретную определенность понятия огромного количества, хотя большая часть концептуалистов веруют в конкретную определен­ность натурального ряда чисел, который служит им в качестве базы для их Философские проблемы математики построений. Но сами построения совсем не обя­зательно должны осуществляться конкретным образом.

Для антионтологистов вся эта неувязка вообщем не возни­кает. Источник веры в единственность Теории Множеств совер­шенно ясен. В Философские проблемы математики неэлементарные теории везде попадают теоретико-множественные понятия, и если сама теория множеств понимается как простая аксиоматическая теория, то вся­кая неэлементарная теория может тогда рассматриваться как объединение 2-ух простых теорий: простой теории Философские проблемы математики множеств и некой простой теории, специфичной для рассматриваемой дисциплины. Решающее понятие «абсолютной модели» неэлементарной теории, т. е. таковой модели, в какой теоретико-множественные понятия получают их стандартную интерпретацию, определена совершенно точно только Философские проблемы математики в той же мере, в какой совершенно точно определена стандартная интерпретация этих понятий. Потому правильно утверждение, что понятие абсо­лютной модели «получит более глубочайшее значение только то­гда, когда будут Философские проблемы математики решены трудные задачи оснований теорий множеств, по этому арифметики могут единогласно при­нять один метод обоснования этой теории» (46). Но мы не ви­дим пока решительно никаких оснований веровать в единствен­ность решения заморочек оснований Философские проблемы математики теории множеств, которое привело бы всех математиков к принятию одной таковой теории в качестве подлинной (47) Теории Множеств. Прагматическая необходимость таковой веры, мотивируемая тем, что в случае отказа от нее появился Философские проблемы математики бы хаос, когда каждый математик гласил бы о собственной своей теории множеств, более чем непонятна. Для того чтоб быть хозяевами положения, нам полностью довольно прагматического аспекта приемлемости. Наличие многих конкурирующих меж собой Философские проблемы математики теорий множеств, по, последней мере до того времени, пока они не заносят существенных перемен в ежедневную деятельность математиков и физиков, навряд ли так небезопасно, чтоб оправдывать навязывание какого бы то ни было credo тут. Так Философские проблемы математики как вера в беспристрастную действительность (что бы под этим ни подразумева­лось) и обусловленная ею конкретная определенность понятия огромного количества и самой теории множеств — это всего только собственного рода успокоительные средства, совсем Философские проблемы математики не приводящие к догматическому отказу от каких-то предложенных теорий множеств (заметим, что даже Мостовский самым недвусмысленным образом заявляет, что «у нас нет критериев, которые могли бы указать на верный Философские проблемы математики выбор из этих многих систем [теорий множеств] (48)), таковой метафизический акт веры оказы­вается совсем безопасным, даже в известном смысле по­лезным. Но нередко всего один шаг отделяет веру в существова­ние беспристрастного Философские проблемы математики аспекта, при помощи которого можно было бы конкретным образом решить спор меж конкурирующими теориями, от веры, что этот аспект уже найден, и от присвое­ния права предать анафеме все эти теории, не считая как Философские проблемы математики разве что какой-либо одной, во имя некоторой земной либо небесной действительности. И многие предпочитают неспокойную свободу рабскому спокойствию.

Во взорах на то, каким образом можно было бы добиться удовлетворительного обоснования Философские проблемы математики теории множеств, все еще имеется огромное расхождение, и огромное количество возникающих в этой связи заморочек еще далековато не решено. И все таки подавляющее большая часть математиков отрешается счи­тать, что идеи Кантора были Философские проблемы математики всего только болезненным бредом. Невзирая на то что основания теории множеств все еще достаточно шатки, эти арифметики продолжают с фуррором использовать понятия, способы и результаты теории множеств в большей части разделов Философские проблемы математики анализа и геометрии, и даже частично в математике и алгебре, твердо веря в то, что работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации теории множеств в полном (либо по последней Философские проблемы математики мере практически полном) ее традиционном объеме. Эта позиция никак не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совершенно не так, как это обычно делается, что соответствует, разумеется, имеющейся потребности в пересмотре интерпретации логики и Философские проблемы математики арифметики вообщем.

Примечания

1. Доступное описание этих традиционных точек зрения, выполненное с современных позиций, см. в статьях Штегмюллера, 56—57, где представлены также и некие из новейших направлений.

2. Этот термин (в принятом тут нами Философские проблемы математики смысле) в первый раз употреблен, по-видимому, Бернайсом, 35. Был ли (ну и вообщем мог ли быть) платонистом сам Платон — вопрос спорный. Ср., к примеру, рецензию П. Хенле на книжку Гудмена, 51, в Journal Философские проблемы математики of Symbolic logic, 17 (1952), 130—133.

3. Манеру выражаться (франц.). — Прим. перев.

4. На 1-ый взор (лат.). —Прим, перев.

5.Другими словами —для какого-нибудь данного бинарного дела R —такое отношение меж х и у, которое равносильно наличию цепочки , где Философские проблемы математики и для всех i, , ; см., к примеру, Гудстейн, 57, стр. 138 российского издания, т- Прим. перев.

6. Ср. Гудмен — Куайн, 47; Гудмен, 51, 56; Куайн, 53.

7. См. Гудмен, 51, стр. 37 и сл.

8. О причинах безнадежности нахождения для (какой Философские проблемы математики-либо формы) теоремы бесконечности таковой интерпретации, которая удовлетворила бы финитистски настроенных номиналистов, см. Генкин, 53а, стр. 27.

9. Ср. Гудмен — Куайн, 47.

10. Подробное обсуждение современного состояния очень близкого вопроса — статуса теоретических понятий в эмпирических науках Философские проблемы математики — см. у Карнапа, 56, и в упоминавшейся выше (стр. 385, примечание 2) статье Хемпела.

11. Генкин, 53а, стр. 28.

12. См. Карнап, 50а, 56, Алстон, 58, Иссман, 58. Можно ждать, что материалы готовящегося к печати сборника “The philosophy of Rudoff Carnap Философские проблемы математики» — The Library of Living philosophers — занесут значимый вклад в такового рода нужное объяснение.

13. Обсуждение этого вопроса, так же как и всего круга заморочек, рас­сматриваемых в данном пт, см. у Бета Философские проблемы математики, 56, стр. 41 и ел

14. Противоречие по определению; противоречивое свойство (лат.).— Прим. перев.

15. Подобные варианта могут быть объяснены эволюцией науки: номинали-­
стические тенденции в свое время привели к логицизму, а потом
логицизм уже стал рассматриваться как Философские проблемы математики разновидность платонизма, и т. п.—
Прим. ред. /
16. *Хан, 7, 9, 10.

17. Ср. Куайн, 53, стр. 122—123.

18. Куайн, 53, стр. 129 [буквально: «... не вкусил лотоса с платонистами» (идиома lotus-eater («поедатель лотоса») имеет два значения: 1) праздный мечтатель, 2) человек, живущий в свое Философские проблемы математики наслаждение. — Перев.].

19. Куайн, 53, стр. 129.

20. Ср., к примеру, Тарский, 56, стр. 62.

21. [Курсив добавлен при переводе; в оригинале эsets-of '. — Перев.] Очень ясное описание этого колера номинализма и убедительная защита его непривычных утверждений от Философские проблемы математики всяческих нападок изложены в статье Гудмена, 56.

22. См. Карнап, бОа.

23. Ср. меж собой последние параграфы книжки Карнапа, 50а, и вторую статью из сборника Куайна, 53 (стр. 46) .

24. Аналогичное отождествление, касающееся эмпирических предложений, идёт еще от Пирса Философские проблемы математики и в качестве верификационного критерия-смысла игралось самую важную роль в исходной стадии развития логического эмпиризма. Об истории этого вопроса см., к примеру, *Карнап, 18.

25. Традиционным изложением этой теории может служить книжка Философские проблемы математики Гуд-
стейна, 57. Не подразумевается никакой подготовительной базы, даже про-­
позиционального исчисления. Ср. также Гудстейн, 54; по поводу стоящей за
этой теорией философии см. Гудстейн, 52.

26. Уже отмечалось, что ответственность за появление антиномий ле­жит (если принимается Философские проблемы математики положительное исчисление предикатов) не на упо­треблениях закона исключенного третьего, а на неограниченном употреблении аксиом свертывания. — Прим. ред.

27. См. Карнап, 37, стр. 46.

28. Лоренцен, 55, стр. 6.

29. Либо, еще точнее, они получаются в итоге акта абстракции от Философские проблемы математики эквиполлентных пропозициональных форм — всем эквиполлентным фор­мам соответствует одно и то же огромное количество.

30. Взоры Карри претерпевали с возрастом значимые конфигурации. Кро­ме того, многие из его работ были размещены (из-за 2-ой Философские проблемы математики мировой войны) еще позже времени их написания, время от времени уже после опублико­вания более поздних сочинений. Эти происшествия (также неоднократные конфигурации в терминологии) осложняют оценку вклада Карри в разработку заморочек Философские проблемы математики обоснования арифметики. Наш беглый очерк основывается приемущественно на книжке Карри, 51 (написанной еще в 1939 г.), содержание кото­рой было потом изложено более сжато в статье Карри, 54.

31. Карри, 51, стр. 31.

32. Карри, 51, стр. 59 и сл.

33. Ср. Гильберт Философские проблемы математики, 25, стр. 163 [стр. 340 русск. изд. Тут Гильберт гово­рит практически последующее: «... если, кроме подтверждения непротиворечи­вости, может иметь смысл еще вопрос о законности некого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о Философские проблемы математики том, сопровождается ли данное мероприятие подходящим фуррором либо нет. Вправду, фуррор тут нужен; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый». Как уместно делать из схожих выражений заключения «о не настолько Философские проблемы математики уж принципном различии позиций» Карри и Гильберта, предоставляем судить читателю. — Перёв.].

34. Карри, 51, стр. 62.

35. Карри, 51, стр. 64.

36. Карнап, 37, стр. .51.

37. На Коллоквиуме по конструктивным дилеммам арифметики (Амстер­дам, 1957).

38. Мостовский, 55, стр. 16 [стр. 13 русск. изд Философские проблемы математики.. — Перевод. }•

39. Там же.

40. Locus classicus, посвященное этому вопросу, — Куайн, 53, I.

^ 41. Такая точка зрения Карнапа, 56.

42. Майхилл, 52а; ср. Тюркетт, 50.

43. Отметим, что даже Рассел одно время выражался в том же духе, Так, в книжке Философские проблемы математики *Рассела, 5 (стр. 169), мы читаем: «Логика связана с реальным миром так же точно, как зоология, невзирая на присущие ей огромную аб­страктность и огромную общность». Очевидно, последняя обмолвка возбуж­дает некие сомнения в Философские проблемы математики серьезности расселовской манеры выражаться, oт которой он, во всяком случае, очень скоро отказался.

44. Другими словами математики. — Прим. перев.

45. Гёдель, 44, стр. 137; ср. также статью 47, уже цитированную нами на стр. 119—120, гл. II. Пояснение в квадратных Философские проблемы математики скобках принадлежит не Геделю, а создателям истинной книжки, — Перев.]

46. Мостовский, 55, стр. 12 [стр. 11 русск. изд. — Перев.].

47. оригинале 'the'. — Прим. перев.

48. Мостовский, 55, стр. 19 [стр. 17 русск. изд.; пояснение в квадратных скобках принадлежит создателям — Перев Философские проблемы математики.].


Вопросы для осознания

  1. Каковой онтологический статус огромного количества как математического объекта?

  2. Что означает ответить на вопрос об онтологическом статусе огромного количества?

  3. Как платонисты решают этот вопрос? Какую роль при всем этом играют теоремы свертывания Философские проблемы математики?

  4. Как решают вопрос об онтологическом статусе множеств неоплатонисты? К каким чисто математическим трудностям приводит признание только исчисления индивидов? От каких математических теорий должны отрешиться те, кто не признает существование множеств?

  5. Какие два выхода Философские проблемы математики из затруднений неоплатонистов именуют создатели книжки?

  6. Как понимают огромное количество неоконцептуалисты? Какие огромного количества они считают существующими?

  7. Какие «метафоры» по отношению к огромным количествам признают нареченные выше направления?

  8. Как, по-вашему, почему многие Философские проблемы математики арифметики, высказав ту либо иную методологическую программку, ей не следовали в собственных математических исследовательских работах?

  9. Согласны ли Вы с точкой зрения, что «теории множеств следует оценивать не по их Философские проблемы математики онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности»

  10. К каким следствиям ведет отказ от непредикативных методов образования понятий? Отказ от языков с неограниченной квантификацией?

  11. Разглядите плюсы и минусы концепции Карри, который отторгает любые онтологические Философские проблемы математики допущения и в качестве аспекта для оценки математических теорий выдвигает их приемлемость.

  12. Приведите аргументы «за» и «против» концепции арифметики, согласно которой математика рассматривается как эмпирическая наука, отменно никак не выделяемая из Философские проблемы математики других эмпирических наук.

  13. В каком смысле существует «единственное в собственном роде понятие огромного количества (натурального числа), подчиняющееся единственной истинной Теории Множеств (соответственно Математике Натуральных чисел), неполными приближениями к которой являются имеющиеся Философские проблемы математики аксиоматические теории множеств (математики)»?

  14. Как Вы думаете, почему «несмотря на то, что основания теории множеств все еще достаточно шатки, арифметики продолжают с фуррором использовать понятия, способы и результаты теории множеств в большей части Философские проблемы математики разделов анализа и геометрии, и даже частично в математике и алгебре»?



В.В. Целищев

Поиски новейшей философии арифметики

В.В. Целищев. Философия арифметики. Новосибирск, «Наука». 2002. Стр. 6-48.

Философия арифметики есть философия в ее чистейшем Философские проблемы математики состоянии, свободном от всяких мирских суждений, философия без всякого подслащивания в виде претензий на Значимость для Ежедневных Заморочек.

Поль Бенацерраф

ВВЕДЕНИЕ


Философия длительное время ассоциировалась с мате­матикой, и было бы очень прискорбно игнорировать это принципиальное Философские проблемы математики историческое событие. Дело в том, что многие философские аргументы, применяемые в тех областях философии, которые имеют приложения, в значимой степени «прокатаны» при обсужде­нии тех заморочек, которые так и либо по Философские проблемы математики другому связаны с философией арифметики. К примеру, обсуждение таких базовых эти­ческих заморочек, как Формы Справедливости, Благо и других кате­горий всходит к дилемме существования абстрактных объектов, которая более удачно и конструктивно Философские проблемы математики дискуссировалась и обсуж­дается во все той же философии арифметики.

С другой стороны, написание таких книжек и апелляция через их к возможному читателю всегда проблематичны, так как сама область исследовательских работ просто Философские проблемы математики часто непонятна. Все знают о ма­тематике, некие знают о философии, но не настолько не мало тех, кто имеет представление о философии арифметики. Узнаваемый философ арифметики П. Мэдди, гласит, что Философские проблемы математики ее признание в обществе образованных людей в том, что она является философом математи­ки, приводит к некому замешательству — всем более либо наименее понятно, что такое математика, наименее ясно, что такое философия, но Философские проблемы математики философия арифметики?..

Понятно, что сами работающие арифметики расслабленно обходят­ся без философии (не считая, может быть, неких выдающихся, ко­торых тревожат нескончаемые философские вопросы). Понятно также, 6

что подавляющее число философов находятся в Философские проблемы математики счастливом неведе­нии относительно тех заморочек, которые дискуссируются в математи­ке. Так что эти задачи могут касаться только очень узенького круга читателей. Эта ситуация полностью понятна и на обыденном уровне. Для того чтоб читать Философские проблемы математики работы по философии арифметики, требует­ся познание не только лишь философии, да и некое представление о арифметике, а именно, о математической логике, также спо­собность смотреть за математической аргументацией. Обыкновенному чи­тателю Философские проблемы математики философских книжек будут непонятны математические и ло­гические детали, работающему арифметику будет непонятна возня вокруг «тривиальных» философских положений.

Необходимость разбираться в технических деталях представля­ет одну из обстоятельств того, что нередко философии арифметики Философские проблемы математики отказыва­ют в статусе подлинной философии, которая должна заниматься «реальными» и «жизненными» неуввязками. Так, математик Ж-.К. Рота утверждает, что «...философы этого века больше, чем когда-либо мучались от диктата определенности Философские проблемы математики. Иллюзия окончательного от­вета, который не сумел быть получен в протяжении 2-ух с полови­ной тыщ лет в Западной философии, обернулась в сегодняшнем веке рабской имитацией математики» (1). Дальше он гласит Философские проблемы математики: «Снобическое разбрасывание по страничкам философских статей знаков просто поражает математиков. Ситуацию можно уподобить тому, как если б вы расплачивались в магазине баксами из настольной игры Монополия» (2).

Этому воззрению противоборствует мировоззрение известного философа и математика Философские проблемы математики X. Патнэма: «Орды интеллектуалов сетуют, что фи­лософия стала очень "технической", что она "отреклась" от ре­альных заморочек, и т.п. ...Но грустным фактом остается то, что доброкачественная философия есть и Философские проблемы математики всегда была трудна, и что еще лег­че выучить имена немногих философов, чем прочесть их книжки. Тот, кто находит философию очень "технической" сейчас, не сумел бы отыскать времени либо желания уследить Философские проблемы математики за длинноватой цепью аргументов Сократа, либо же прочесть одну из Критик Канта» (3).

Чем занимается философия арифметики? Сначала, такими базовыми вопросами, как «Что такое математика?», «Ка­кого рода познанием является математическое познание?», «Какова специфичность математических Философские проблемы математики объектов?» Все эти вопросы традиционны для философии арифметики, но на данный момент на 1-ый план выходит воп­рос о том, каким образом люди, с их ограниченным чувственным видением мира, входят в Философские проблемы математики контакт с безупречными объектами матема­тики и получают познание математических истин об этих объектах. Заблаговременно необходимо отметить принципиальный факт по поводу того, как понима­ется философия арифметики различными научными обществами. Философы Философские проблемы математики и арифметики, занятые основаниями арифметики, имеют одну точку зрения, а работающие арифметики — другую. Филосо­фы заинтересованы в поиске философских категорий, которые по­зволили бы разъяснить природу математических объектов, т.е. от­крыть нечто Философские проблемы математики большее о математических объектах, чем это делается в математических теориях. Для этой цели соотносятся математичес­кие объекты, к примеру огромного количества, и философские категории, на­пример универсалии. Математические утверждения об объектах арифметики анализируются в Философские проблемы математики определениях теории зания, а матема­тические теории оцениваются как свидетельства в пользу той либо другой философской концепции. При таком подходе осуществляется сведение заморочек о природе специфичных математических объек­тов к общефилософским дилеммам Философские проблемы математики.

Работающие арифметики совершенно по-другому рассматривают про­блемы оснований арифметики, не считая необходимыми те вопросы, ко­торые числятся такими философами. Тут взоры на природу математических утверждений и математических объектов Философские проблемы математики в силь­нейшей степени зависят от степени энтузиазма математиков к теоре­тико-познавательным дилеммам. Следует признать, что существу­ют две ориентации, которые можно именовать ориентацией работаю­щего математика и ориентацией философского логика. Обе Философские проблемы математики пози­ции потрясающе охарактеризованы Р. Мартином:

«Внимание математика приковано приемущественно к матема­тической структуре, и его умственный экстаз вызывается открытием того, что данная теория проявляет такие-то и такие-то структуры, либо открытием Философские проблемы математики, что одна структура "моделируется" дру­гой, либо открытием неких других структур, и показом того, как они соотносятся с уже изученными структурами... Математик удов­летворен работой с некими "сущностями" либо "объектами Философские проблемы математики" ("огромными количествами", "числами", "функциями", "местами", "точ­ками"), и он не изучит их внутренний нрав либо онтологичес­кий статус. Философский логик, с другой стороны, более чувстви­телен к онтологии и будет в особенности заинтересован в том Философские проблемы математики, какого рода сущностями они являются в реальности... Он не удовлетворяется тем обычным фактом, что такие-то и такие-то сути про­являют такую-то и такую-то математическую структуру. Он желал Философские проблемы математики более глубоко изучить, что же это все-таки за сути и как они соотно­сятся с другими сущностями... Он также желал бы знать, выступа­ют ли эти сути как sui generis Философские проблемы математики, либо же они в неком смысле сводимы (либо построены в определениях) к другим, возможно, более фундаментальным» (4).

Беря во внимание все вышеупомянутое, ясно, что эта книжка обращена к философам, и только к ним. Дело Философские проблемы математики в том, что многие вещи, кажущие­ся элементарными математикам, в наисильнейшей степени озадачивают философов. В качестве обычного примера можно указать теорию трансфинитных чисел Кантора. В обыкновенном учебнике по математи­ке, где есть Философские проблемы математики глава с изложением теории множеств, главные резуль­таты этой теории излагаются на нескольких страничках. Меж тем философам понятно, что при разработке теории Кантор большущее значение присваивал метафизическим и даже теологическим Философские проблемы математики сообра­жениям о бесконечности. Потому для философа арифметики инте­рес представляет, скажем, логика теории Кантора, ее генетическая структура, и если прибегнуть к крайностям, можно сказать, что фи­лософа интересует как раз то Философские проблемы математики, что совершенно не интересует математика.

Но для осознания заморочек философии арифметики и их решений требуется познание деталей. Степень детализации при изло­жении таких вопросов — дело тонкое, и находится в зависимости от многих вещей. Одним из Философские проблемы математики тезисов этой книжки будет то, что часто невнимание к этим деталям приводит к значимым искажениям интерпрета­ции формализмов, и больше того, к безосновательным философским заключениям. Потому технические детали приводятся Философские проблемы математики, по большей части, там, где следует бояться конкретно таковой порухи.

В книжке избегались «избитые» вопросы философии математи­ки, а именно, обсуждение тезисов традиционных школ филосо­фии арифметики XX в., а конкретно логицизм Философские проблемы математики, интуиционизм, форма­лизм, так как по выражению X. Патнэма «ничего из этого уже не работает». Больше того, содержание книжки фактически ограни­чено обсуждением заморочек, концентрирующихся вокруг 2-ух тем. Это теория множеств Кантора и Философские проблемы математики ее аксиоматизация, также аксиома Левенгейма — Сколема. Хотя обе темы отлично известны, в тради­ционных изложениях философии арифметики они часто избега­ются, уступая место таким темам, как парадоксы теории множеств и методы их Философские проблемы математики решения в логицизме, интуиционизме и формализме, аксиома Геделя о неполноте, формализация арифметики и пр. Меж­ду тем показательно, что теория Кантора, которая нередко рассматри­вается в обычных курсах только как повод для Философские проблемы математики разговора о па­радоксах, совершенно по-другому рассматривалась теми же классиками в области оснований арифметики. Б. Рассел, который сразу с Э. Цермело предложил выход из парадоксов теории множеств (Рас­сел предложил Философские проблемы математики в 1908 г. теорию типов, а Цермело в том же году — аксиоматическую теорию множеств), уже после публикации Principia Mathematica, в работе Наше зание окружающего мира 1914 г. значи­тельнейшее место уделил тем следствиям, которые теория Кантора имела Философские проблемы математики для философии. Что касается аксиомы Левенгейма — Сколема, то она вообщем обойдена вниманием философов, в то время как она породила в ближайшее время целое философское направление, а конкретно так именуемый Философские проблемы математики внутренний реализм X. Патнэма, направ­ление, которое оказало огромное воздействие на дискуссии о природе действительности и ее «схватывании» языком.

В конце концов, очередное суждение, которым управлялся создатель книжки, избегая «избитых» тем вроде парадоксов, их значимос Философские проблемы математики­ти для ситуации в арифметике. В большинстве учебников приводит­ся всераспространенная история о том, что теория множеств появилась как итог доверчивой интуиции, которая привела к парадоксам, вследствие чего интуиция объявлялась ненадежной, и Философские проблемы математики существую­щие аксиоматизации теории множеств исторически появились как реакция на парадоксы. Многие исследователи опровергают эту точ­ку зрения (5). История с феноменами касается логического понятия огромного количества, которое использовалось Расселом в Философские проблемы математики чисто философской программке. А в арифметике применяется комбинаторное понятие огромного количества, и фактически математические исследования Кантора касались этого понятия, связанного с обобщенным понятием функ­ции как стопроцентно случайного соответствия. Эта точка Философские проблемы математики зрения воспринимает совершенно точный вид у Геделя: «Более близкий взор по­казывает, что теоретико-множественные парадоксы не причиняют особенных проблем. Они представляют серьезнейшую пробле­му, но не для арифметики, а быстрее для логики и эпистемологии Философские проблемы математики» (6). Поворот в философии арифметики быстрее к математической прак­тике, а не обычным философским программкам, знаменует со­бой натурализацию этой дисциплины. Поворот этот выслеживается очень видимо на работах 1-го из ведущих профессионалов в Философские проблемы математики облас­ти оснований арифметики П. Мэдди. Если в книжке Математичес­кий реализм (7), размещенной в 1990г., она держится реа­лизма, считая его доминирующим взором в философии математи­ки то в новейшей книжке Натурализм Философские проблемы математики в арифметике (8) 1997 г. она отказы­вается от философских тенет и исповедует принцип «максимиза­ции», согласно которому математик может постулировать любые виды объектов и учить их, не вопрошая, «а есть ли эти объекты Философские проблемы математики?». Так что стратегия, принятая в нашей книжке по филосо­фии арифметики, и заключающаяся в том, что мы избегаем традици­онных вопросов об правде математических утверждений и о суще­ствовании математических объектов, имеет Философские проблемы математики свои резоны. Меж тем короткую сводку этого обычного материала можно отыскать в не­которых Прелюдиях к главам; этот нестандартный метод препод­несения материала также имеет свои резоны.

С философской точки Философские проблемы математики зрения философия арифметики претерпе­ла в известной степени «эпистемологический поворот», напомина­ющий «лингвистический» поворот в аналитической философии по­лувеком ранее. В значимой степени конкретно эти тенденции бу­дут фоновыми при рассмотрении Философские проблемы математики различного рода заморочек. В це­лом это книжка о отношениях арифметики и философии (либо математиков и философов). На этот счет имеются самые различные представления. Цеховые интересы и предпочтения появляются здесь с уди­вительным Философские проблемы математики недопониманием обратной стороны. Так, по пово­ду Б. Рассела с его логицистской программкой сейчас молвят, что в кон­це концов Б. Рассел был все-же философом, а по поводу Я. Брауэра Философские проблемы математики молвят о его философских «чудачествах». Об увлечении К. Геделя последние четыре 10-ка лет его жизни философией И. Канта и Э. Гуссерля молвят со смешанным чувством почтения к дости­жениям логика и недоумения Философские проблемы математики по поводу странностей гения. Этот список можно продолжать довольно длительно, и каждый раз мы стал­киваемся с тем, что потрясающе выразил Ж.-К. Рота в статье Мате­матика и философия: история обоюдного недопонимания ( 9).

Рота Философские проблемы математики гласит о том, что математика имеет дело, во-1-х, с фактами, как и неважно какая другая наука. Во-2-х, математика имеет дело с подтверждениями, которые кодифицируются в аксиоматичес­ких системах. В этом, по Философские проблемы математики его выражению, проявляется двойная жизнь арифметики, полностью удачная жизнь, вызвавшая зависть филосо­фии. Во-1-х, философия имеет дело со методами описания мира, а во-2-х, философия опирается на аргументацию. Но Философские проблемы математики по поводу способов аргументации посреди философов никогда не было согласия. «Отношения философов с богиней Разума всегда были поближе к принужденному сожительству, чем к романтичной связи меж богиней Разума и математиками» (10).

Попытка убрать Философские проблемы математики неясности в философской аргументации при помощи арифметики издавна перевоплотился в сильную промышленность. Но по ходу того, как основная «производительная сила» этой промышленности — математическая логика — становилась все более ма­тематической дисциплиной, стало вкрадываться колебание Философские проблемы математики в том, как формальный аппарат логики, также математические те­оремы могут быть верно интерпретированы философски. Имен­но этим вопросам и посвящена данная книжка.


^ ПРЕЛЮДИЯ К ГЛАВЕ 1

В момент появления Науки Философские проблемы математики матема­тика и религия были партнерами. От их союза произошли два потомка, Платонизм и Основания, с притязаниями на знатность. (Математические правды сущность нескончаемые исти­ны в уме Бога; интуиция, способность человека взаимо Философские проблемы математики­действовать с этими правдами может дать бесспорные основания.) После Канта этот альянс распался, и религия была изгнана из страны Науки. Одна из основных защит­ниц Оснований, Евклидова геометрия, была вытеснена своими юными кузенами Философские проблемы математики — Неевклидовыми геомет­риями, и была ущемлена Анализом и Арифметизацией. Их дитя, Огромное количество, обещало защитить отпрысков, но не сумело из-за собственной нетвердости. Вопреки усилиям 3-х защитников — Лог(ицизма), Инт(уиционизма) и Форм Философские проблемы математики(ализма), Основания погибли. Платонизм выжил, и не­смотря на то, что его теологические претензии граждана­ми страны Науки были преданы анафеме, доминиру­ющая философия продолжала предоставлять ему убежи­ще. По ходу всей истории Философские проблемы математики гуманистическое меньшинство пробовало свергнуть Платонизм с его притязаниями. Математика не должна, по заверениям гуманистов, подчи­няться диктату Платонизма. Она должна жить собственной соб­ственной жизнью, подчиняясь только установленным са Философские проблемы математики­мой правилам. С некими видными гуманистичес­кими исключениями (посреди их Аристотель, Локк, Вит-тгенштейн, Лакатос, Китчер) доминирующая тенденция включает классическую и современную философию ма­тематики.

Р. Херш. ^ Что все-таки такое математика, по сути Философские проблемы математики? (Hersh R. What is Mathematics, Really! — Oxford: University Press, 1997)




filosofiya-zhizni-i-filosofiya-psihoanaliza.html
filosofskaya-antropologiya-chelovek-kak-predmet-filosofskogo-analiza-v-klassicheskoj-i-postklassicheskoj-filosofii.html
filosofskaya-antropologiya.html